Question

如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD的中点,问,在棱AA1上是否存在一点M

如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为BD的中点,问,在棱AA1上是否存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1，如果存在，求出AM:MA1的值

Answer 1

在棱AA1上存在一点M,使平面MBD垂直于平面OC1D1。

解：连接A`C`、MO、C`M、AC，则O是AC中点

        设正方体边长为1，则AC=A`C`=√2，AO=CO=√2/2

       ∵O是正方体ABCDA1B1C1D1中，BD的中点

       ∴BO=DO，BC`=DC`

       ∴C`O⊥BD

       ∵ 面MBD⊥面OC`D`

       ∴C`O⊥面MBD

       ∴C`O⊥MO

       ∴MO²+C`O²=C`M²

       ∵MO²=AM²+AO²，C`O²=C`C²+CO²，C`M²=A`C`²+MA`²

       ∴AM²+AO²+C`C²+CO²=A`C`²+MA`²

       ∴AM²+1/2+1+1/2=2+MA`²

       ∴AM=MA`

       ∴AM：MA`=1