Question

数列题求思路及解答（恳请学过高数的朋友赐教）

1 求出一个数列Wn（n>=1)满足。。。
2 证明存在一个实数C，对于任意n>=1,有lnUn<=C
3 证明Un（n>=1)收敛
4 令Un(n>=1)的极限为l ，l满足下式

Answer 1

我这电脑上不能编辑公式，只能粗略说说，望楼主采纳！

1.    ln(u（n+1）/un)=ln(分子：4n^2+4n+1,分母：4n^2+4n)（为正数，un严格单增）<(wn-wn+1)/8，这说明wn-wn+1是严格单调递减，同时还要求wn->0，我们发现刚才ln后面的分式，若要放大一下，使得成为8(wn-wn+1)，估计还会有ln函数的，而且必须一个对应n,一个对应n+1.。首先我们想到，令wn=ln(分子＝1，分母为（2n）^2)，但此时wn->负无穷。为使得极限为0，可以令wn=ln(1+1/(2n)^2)，验证发现，此时的wn正符合要求。

2.   ln(u（n+1）/un)=ln(分子：4n^2+4n+1,分母：4n^2+4n)，这个比值，与1/(2n)^2是同阶无穷小，这是什么数列敛散性判别法呢？拉比判别法？还是比值的极限判别法？请楼主去查书对照吧。总之，能先判断出来un收敛。这是先解决了第3步，然后根据收敛数列必有界，推出第2步。

2‘’     如果非要先证明有界再用单调有界定理证明收敛，那就借助于刚才找到的数列wn来证明有界性,这个数列不是没用的，……。详情麻烦楼主了。

 3.  包含在上面的论述中了。

4.   ln(u（n+1）/un)=ln(分子：4n^2+4n+1,分母：4n^2+4n)<(wn-wn+1)/8,

    即：u(n+1)/un<e^[(wn-wn+1)/8]     这个形式，与要求证的，有些相似了呢！

同理：...........................

...........................

(u(N+1)/uN)<e^[(wN-w(N+1))/8 ]

不等式相乘，左边＝u(N+1)/un<右边＝e^[(w(N+1）－wn)/8]

两边取极限，取倒数，差不多就出来了！

看会不如写会，写会不如自己做会。剩下的交给楼主了，请笑纳！

追问

住校生拜谢。回家后一定尽快研究处理！

住校生拜谢。回家后一定尽快研究处理！

Answer 2

你这是要请学英语的朋友还是法语的朋友还是数学的朋友赐教啊。。
wikipedia先自学－>斯特林公式
(n!)约=(2pi*n)^(1/2)(n/e)^n

u(n)=(2n)! n^(1/2) / [(n!)^2 * 2^2n]
约=(2pi*2n)^(1/2)(2n/e)^2n 2n^(1/2) / {[((2pi*n)^(1/2)(n/e)^n)^2 * 2^2n]}
=(2pi*2n)^(1/2) (2n/e)^2n 2n^(1/2) / [(2pi*n)(2n/e)^2n]
=2[2pi]^(1/2)

其中pi是圆周律