Question

设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*) 求证:数列an为等差数列,

设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=(Sn/n)+2(n-1)(n∈N*)
1、求证:数列an为等差数列,并分别写出an和Sn关于n的表达式
2、是否存在自然数n，使得S1+S2/2+S3/3+…+Sn/n—（n—1）^2=2013，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

1. 解：
   
   n≥2时，an=Sn/n +2(n-1)
   Sn=nan -2n(n-1)
   S(n-1)=(n-1)an-2(n-1)(n-2)
   Sn-S(n-1)=an=nan-2n(n-1)-(n-1)an+2(n-1)(n-2)
   an-a(n-1)=4，为定值。
   又a1=1，数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列。
   an=1+4(n-1)=4n-3
   数列{an}的通项公式为an=4n-3。
   
   

2. 即sn=[n(1+4n-3)]/2

3. 
   Sn/n=an -2(n-1)=4n-3-2(n-1)=2n-1
   S1/1 +S2/2+...+Sn/n -(n-1)²
   =2(1+2+...+n) -n -(n-1)²
   =2n(n+1)/2 -n -(n-1)²
   =2n-1
   令2n-1=2011
   2n=2012

s1=1
即S1+S2/2+S3/3+…+Sn/n—（n—1）^2=2013