Question

求极限！！！各位大神帮忙看一看啊

求当n趋于无穷大时(1+(1/2+(1/3+……+(1/n-1+(1/n)^1/2)^1/2……)^1/2)^1/2)^1/2的值
只知道答案是pi^(1/e)，请各位大神给出详细过程。
此为图

Answer 1

设所求的极限是S。那么
1.521890<S<1.521891<1.523<pi^(1/e)

你那一串根号一直到无穷，我用(,,,,)这种形式表示
a[2]=(1,1/2)
a[n]=(1,1/2,1/3,..,1/n)
a[无穷]=(1,1/2,1/3,....,1/n,....)
看看另一个数列
b[1]=(1,1/2,1/3,....,1/n,....)
b[2]=(1/2,1/3,...,1/n,...)
b[3]=(1/3,1/4,1/5,....,1/n,........)

c[m]=(1/m,1/m,1/m,....,1/m,........)
c[m]^2-c[m]-(1/m)=0
c[m]=(1+根号下(1+4/m))/2

d[m]=(1/m,0,0,0,0,0,0,.....)
d[m]=1

所以b[m]=(1/m,1/(m+1),1/(m+2),....)在d[m]与c[m]之间。也就是
1<=b[m]<=[1+根号下(1+4/m)]/2
当m趋于无穷时，b[m]=1

b[1]^2-(1)=b[2]
b[2]^2-(1/2)=b[3]
b[3]^2-(1/3)=b[4]
b[4]^2-(1/4)=b[5]
.....
b[无穷]=1

我们发现，
比如b[1]=100，那么b[无穷]=无穷。
比如b[1]=2，那么b[无穷]=无穷。
所以b[1]=1，那么b[无穷]=0。
也就是说，初始的b[1]很大程度上影响b[无穷]。
如果结论是S，那么b[1]=S时，b[无穷]=1
如果b[1]<S，那么b[n]会很接近1/n，所以b[无穷]=0
如果b[1]>S，那么b[n]会发散，所以b[无穷]=无穷
注意到估计式
1<=b[m]<=[1+根号下(1+4/m)]/2
所以b[1]<=1.618黄金数。
所以甚至b[1]=1.618，那么b[无穷]=无穷。
chaos theory
英语的解释是
the branch of mathematics that deals with complex systems whose behavior is highly sensitive to slight changes inconditions, so that small alterations can give rise to strikingly great consequences.

pi^(1/e)＝1.523671054858931718386285946253348672989....
我们现在假设初始项分别是:
1.521890 然后看看第100项到第120项
1.521891 然后看看前20项

如果a{1]=1.521890
那么
N[RecurrenceTable[{a[n + 1] == a[n]^2 - 1/n, a[1] == 1.521890},
a, {n, 100, 120}]]
{-0.009999, -0.00990002, -0.00980298, -0.00970782, -0.0096145, -0.00952295,
-0.00943312, -0.00934498, -0.00925847, -0.00917354, -0.00909016, -0.00900828,
-0.00892786, -0.00884886, -0.00877126, -0.00869499, -0.00862005, -0.00854638,
-0.00847397, -0.00840277, -0.00833275}

如果a{1]=1.521891
那么
N[RecurrenceTable[{a[n + 1] == a[n]^2 - 1/n, a[1] == 1.521890},
a, {n, 1, 20}]]
{1.52189, 1.31615, 1.23226, 1.18512, 1.15452, 1.13291, 1.11682, 1.10442,
1.09475, 1.08736, 1.08235, 1.08058, 1.08432, 1.09883, 1.136, 1.22382,
1.43523, 2.00106, 3.9487, 15.5396}

所以
1.521890<S<1.521891<1.523<pi^(1/e)

Answer 2

答案是1.楼主可以把这个辅助区查查去

追问

?????

Answer 3

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。我晕了。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

Answer 4

答案是：1

追问

一看就大于一啊

Answer 5

mark一下，回头再看。