Question

函数f(x)=ex-kx,x∈R.若k＞0且对于任意x∈Rf(|x|)＞0恒成立求k 过程谢啦

函数f(x)=e^x-kx,x∈R.若k＞0且对于任意x∈Rf(|x|)＞0恒成立求k 过程谢啦

Answer 1

解：由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f'（x）=ex-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=ex-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）-0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．