Question

概率论中的一道求正态分布的数学期望的题目

两个随机变量X~N(0,1)，Y~(0,1)，Z=min(X,Y)，求E (Z)
做这个题目可以用先求出Z的概率密度吗？
错了，Y~N(0,1)标准正态分布

Answer 1

楼主的题目还是有问题，此题应该加上 X，Y相互独立的条件。

你可以先求出Z的密度再来求期望，但会比较麻烦。
相信楼主手里的教材上一定有这样一道题目的解答：
在本题相同的条件下求W=max（X,Y）的期望，答案为:1/根号下\Pi；

在此基础上可以有一个简单做法解楼主的问题： 由X，Y相互独立且均服从标准正态分布，可以推出：
—X，—Y相互独立且也是均服从标准正态分布，而
min（X,Y）= —max（—X, —Y），
所以
Emin（X,Y）= —Emax（—X, —Y）=—1/根号下\Pi.

追问

对的，此题应该加上 X，Y相互独立的条件。

你可以先求出Z的密度再来求期望，但会比较麻烦。具体应该是怎么算呢，你如果方便的话就发一下运算过程上来吧，如果很麻烦就算了

追答

先求Z的分布函数， 对任意的z \in R,
P{Zz}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[1-\Phi(z)][1-\Phi(z)],
对z求导的密度，但含有标准正态分布函数\Phi(x) (\phi(x)是密度)，
f（z）=2\phi(z)-2\phi(z)\Phi(z)，
剩下的求积分，
\int_{-\infty}^{\infty}z[2\phi(z)-2\phi(z)\Phi(z)]dz=0-2\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\Phi(z)]dz
=-2/(根号下2\Pi) \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(z) d(e^{-z^2/2},
余下的步骤没有难度，只要注意
\Phi(z)(e^{-z^2/2}代入正负无穷均是0, 利用分部积分可得，公式不好打就算了

Answer 2

嗯 P(Z=a)=2N(a)[1-N(a)]

追问

错了，Y~N(0,1)标准正态分布

追答

变成标准的就行了