Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(1)当a=0时,求f(x)的极值

2.a<0时，求f(x)的单调区间

Answer 1

（1）
a=0，f(x)=2lnx+1/x
f'(x)=2/x-1/x^2=(2x-1)/x^2
f'(x)=0解得x=1/2
当0<x<1/2时，f'(x)<0,f(x)递减
当x>1/2时，f'(x)>0,f(x)递增
∴f(x)极小值=f(1/2)=2ln(1/2)+2=2-2ln2

(2)
f'(x)=(2-a)/x-1/x^2+2a
=[2ax^2+(2-a)x-1]/x^2
=(2x-1)(ax+1)/x^2
=a(x-1/2)(x+1/a)/x^2
令f'(x)=0得x=1/2或x=-1/a
当0<-1/a<1/2即a<-2时，
f(x)递增区间为(-1/a,1/2)
递减区间为(0,-1/a),(1/2,+∞)

当-1/a=1/2即a=-2时，f'(x)=-2(x-1/2)^2/x^2≤0
∴f(x)递减区间为(0,+∞)

当-1/a>1/2即-2<a<0时，
f(x)递增区间为(1/2,-1/a)
递减区间为(0,1/2),(-1/a,+∞)

Answer 2

1. a=0时
   f(x)=2lnx+1/x
   求导f'(x)=(2/x) -(1/x^2)
   将导函数通分f'(x)=2x-1/x^2
   令f'(x)=0求得极值点x=1/2
   f(1/2)=2-2ln2

2. f'(x）=（2-a）/x -1/x^2 +2a
   整理得f‘（x)=【2ax^2+(2-a)x-1】/X^2
   对分子讨论即可
   时刻谨记x＞0
   当a＜-2时，1/2＞-1/a
   （0,-1/a)上减函数
   （-1/a,1/2）上增函数
   （1/2，正无穷）上减函数
   当-2＜a＜0时，1/2＜-1/a
   （0，1/2）上减函数
   （1/2,-1/a)上增函数
   （-1/a,正无穷）上减函数