Question

用面积法证明 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

Answer 1

重心是三角形中线的交点。

三角形ABC中BD和CE分别是中线，相交于F。

连接DE，因为DE是中位线。

三角形重心定理的性质：

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

在数学上是这样来研究面积问题的：首先规定边长为1的正方形的面积为1，并将其作为不证自明的公理。然后，用这样的所谓单位正方形来度量其他平面几何图形。

较为简单的正方形和长方形的面积是很容易得到的，利用割补法可以把平行四边形的面积问题转化为长方形的面积问题，进而可以得到三角形的面积。于是，多边形的面积就可以转化为若干三角形的面积。

Answer 2

连EF交AD于G

∵重心为三条中线的交点

∴EFD分别为各边中点

∴EF∥BC且EF=（1/2）BC=BD

∵F为中点，FG∥BD

∴FG=（1/2）BD

同理证明GE=（1/2）DC=（1/2）BD=FG

∴G为EF中点

∴S△AFO=S△AEO（同底AO等高FG=GE）

又易正明S△AFO=S△BFO（等底AF=BF同高）

∴S△AEO=S△AFO=S△BFO=（1/3）S△ABE……（1）

设A到BE的高为h

又∵S△AEO=（1/2）OE·h……（2）

       S△ABE=（1/2）BE·h……（3）

结合（1）（2）（3）

∴BE=3OE

∴BO=2OE

命题的证