如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=1/2x^2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=1/2x^2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA... 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=1/2x^2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA 展开
Oscar1
2013-10-22
知道答主
回答量:13
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解答:解:(1)∵由y=
1
2
x2+2x得,y=
1
2
(x+2)2-2,
∴抛物线的顶点A的坐标为(-2,-2),

1
2
x2+2x=0,解得x1=0,x2=-4,
∴点B的坐标为(-4,0),
过点A作AD⊥x轴,垂足为D,
∴∠ADO=90°,
∴点A的坐标为(-2,-2),点D的坐标为(-2,0),
∴OD=AD=2,
∴∠AOB=45°;

(2)四边形ACOC′为菱形.
由题意可知抛物线m的二次项系数为
1
2
,且过顶点C的坐标是(2,-4),
∴抛物线的解析式为:y=
1
2
(x-2)2-4,即y=
1
2
x2-2x-2,
过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,
∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE-EF=2,
∴OC=
OE2+EC2
=
22+42
=2
5

同理,AC=2
5
,OC=AC,
由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,
故四边形ACOC′为菱形.

(3)如图1,点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上.
理由如下:
过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,
∵OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,
∴∠COH=∠C′OG,
∵CE∥OH,
∴∠OCE=∠C′OG,
又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,
∴△CEO≌△C′GO,
∴OG=4,C′G=2,
∴点C′的坐标为(-4,2),
把x=-4代入抛物线y=
1
2
x2+2x得y=0,
∴点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上;

(4)存在符合条件的点Q.
∵点P为x轴上的一个动点,点Q在抛物线m上,
∴设Q(a,
1
2
(a-2)2-4),
∵OC为该四边形的一条边,
∴OP为对角线,


1
2
(a−2)2−4−4

2
=0,解得a1=6,a2=-2,
∴Q(6,4)或(-2,4)(舍去),
∴点Q的坐标为(6,4).
zhl1968
2013-10-18 · TA获得超过1.4万个赞
知道大有可为答主
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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=0.5(x+2)²-2与x轴相交于点O,B两点,顶点为A,连接OA . 求点A的坐标和∠AOB的度数

解:y=0.5x²+2x配方得:y=0.5(x+2)²-2
∴点A的坐标为A(-2,-2)
解方程0.5x²+2x=0得x=0或-4
∴B(-4,0),O(0,0)
勾股定理得|OA|=2√2 |AB|=2√2
|OB|=4
∵OA²+AB²=OB²
∴△AOB是直角三角形(勾股定理得逆定理)
又∵OA=AB2√2
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠AOB=45º
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1416809032
2014-01-11
知道答主
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解:(1)∵由y=

1
2
x2+2x得,y=
1
2
(x+2)2-2,

∴抛物线的顶点A的坐标为(-2,-2),

1
2
x2+2x=0,解得x1=0,x2=-4,
∴点B的坐标为(-4,0),
过点A作AD⊥x轴,垂足为D,
∴∠ADO=90°,
∴点A的坐标为(-2,-2),点D的坐标为(-2,0),
∴OD=AD=2,
∴∠AOB=45°;

(2)四边形ACOC′为菱形.
由题意可知抛物线m的二次项系数为
1
2
,且过顶点C的坐标是(2,-4),
∴抛物线的解析式为:y=
1
2
(x-2)2-4,即y=
1
2
x2-2x-2,
过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,
∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE-EF=2,
∴OC=
OE2+EC2
=
22+42
=2
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同理,AC=2
5
,OC=AC,
由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,
故四边形ACOC′为菱形.

(3)如图1,点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上.
理由如下:
过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,
∵OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,
∴∠COH=∠C′OG,
∵CE∥OH,
∴∠OCE=∠C′OG,
又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,
∴△CEO≌△C′GO,
∴OG=4,C′G=2,
∴点C′的坐标为(-4,2),
把x=-4代入抛物线y=
1
2
x2+2x得y=0,
∴点C′不在抛物线y=
1
2
x2+2x上;

(4)存在符合条件的点Q.
∵点P为x轴上的一个动点,点Q在抛物线m上,
∴设Q(a,
1
2
(a-2)2-4),
∵OC为该四边形的一条边,
∴OP为对角线,

1
2
(a−2)2−4−4
2
=0,解得a1=6,a2=-2,
∴Q(6,4)或(-2,4)(舍去),
∴点Q的坐标为(6,4).
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