Question

1=0.9999999的无限循环吗？证明一下~~~~

这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但他们的的确确是相等的。请至少用五种方法证明~~~~

Answer 1

这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但请相信我和那些说它们相等的同志，他们的的确确是相等的。
证明的方法有很多：

第一种，最简单的：
设x=0.9999999999999……，那么10x=9.99999999999…，得到
10x-x=9
得x=1

第二种，也很简单的：
设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得
x/3=1/3
x=1

第三种，稍微要绕一点脑筋：
你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种，可以用极限来做：
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。

另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.3333333333……只是约等于1/3，0.9999999999……<1。至少在我们所使用的数学中，0.999999999……=1。

你也可以在百度上查找有关的资料，特别是百度知道上有过这种争论。

最后，我在明确地告诉你，同时也是告诉所有看过这些话的人，0.999999999999999……=1。

Answer 2

最佳答案是用了无限循环小数中的1/3=0.3333333333333333……，这种方法很巧妙的用分数将无限循环小数与一个整数联系起来，乍看之下，似乎有些不可思议，但这个证明是严密的，在高等数学中用数列的极限可证之，这种方法也是学小学奥数的同学们常用的方法。一般的遇到循环节是一位数（如6）化成分数时就为该循环节除9（即6/9）。

1/3=0.33333333333333333333333333333……
1＝1/3×3＝0.333333333333333……×3
＝0.99999999999999999999……

0.9999……先设为A A=0.9+0.09+0.009+0.0009+…… =（1-0.1）+（0.1-0.01）+（0.01-0.001）+…… =1-0.1+0.1-0.01+0.01-0.001+0.001-…… =1-（0.1-0.1）-（0.01-0.01）-…… =1-0-0-0-0…… =1

极限 罗毕塔法则

2-0.99999999999999999……=1.0000000000000000……
so that……

Answer 3

1/3=0.33333333333333333333333333333…
1＝1/3×3＝0.333333333333333……×3
＝0.99999999999999999999…

0.9999……先设为A A=0.9+0.09+0.009+0.0009+…… =（1-0.1）+（0.1-0.01）+（0.01-0.001）+…… =1-0.1+0.1-0.01+0.01-0.001+0.001-…… =1-（0.1-0.1）-（0.01-0.01）-…… =1-0-0-0-0…… =1

0.99999999999...=0.1111111111111....*9
0.1111111111111....=1/9
0.9999999999...=1/9*9=1

Answer 4

设x=0.9999999999999...
那么10x=9.99999999999...
得到10x-x=9
得x=1

0.9999999999999...=1

Answer 5

不等。1=3×（1/3），0.99…=3×0.33…，即0.99…/3=0.33…。如果两组等式直接划等号的话，说明你已经知道1/3=0.99…/0.33…，即已经知道1=0.99…，去证1=0.99…，显然是不合理的。