Question

一道逻辑题，求助！

欧几里德几何系统的第五条公理判定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。
要是数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立?( )
Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可能无法作一条直线与该直线平行。
Ⅱ．在同一平面上，过直线外一点作多条直线与该直线平行是可能的。
Ⅲ．在同一平面上，如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，那么，也可能无法只作一条直线与该直线平行。
我的问题是：
答案为Ⅰ和Ⅱ。为什么Ⅲ不对？

Answer 1

答案：你看到的答案错了，正确答案就是你关注的Ⅲ。原因是Ⅰ和Ⅱ对于题干推论都是充分非必要条件，所以都不是必须要求的前提，故答案为Ⅲ。

解析：
令p表示“过直线外一点可以作一条直线与该直线平行”，q表示“过直线外一点只可以作一条直线与该直线平行”。第五公理是断定“p并且q”。
要使对第五公理的怀疑成立，“p并且q”必须是假命题。
“p并且q”是假命题，当且仅当p和q之中至少有一个假命题，但p自身不必须是假命题，q自身也不必须是假命题。
也就是说，要使对第五公理的怀疑成立，必须断定p和q中至少有一个假命题，但不必须断定p是假命题，也不必须断定q是假命题。
选项Ⅰ断定p是假命题。要使对第五公理的怀疑成立，Ⅰ项不必须成立。
选项Ⅱ断定q是假命题。要使对第五公理的怀疑成立，Ⅱ项不必须成立。
选项Ⅲ断定：如果q真，则p假，这等于断定：p和q之中至少有一个假命题。要使对第五公理的怀疑成立，Ⅲ项必须成立。

追问

我理解问题问的是必要条件是吗？那些语言标志可以看出是考必要条件？

Answer 2

I,II成立直接推翻该公理，III并不能直接推翻