Question

设函数f(x)=ax²+bx+1(a≠0,b∈R)若f(-1)=0,且对任意实数x(x∈R)不等式

设函数f(x)=ax²+bx+1(a≠0,b∈R)若f(-1)=0,且对任意实数x(x∈R)不等式f(x)≥0恒成立，①求实数a,b的值②当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围

Answer 1

（1）因为任意x属于R，不等式发f（x）恒大于等于0
所以当f（x）= 0时，f（x）的图像与x轴只有一个交点。又f（-1）= 0
根与系数的关系
则 - b/a = [（-1）+（-1）] = - 2
1/a =（-1）x（-1）=1
解方程组，得 a = 1 ,b = 2

（2）原式可化为 f(x)=x^2+2x+1
则g(x)=x^2-(k-2)x+1
因为g(x)在[-2,2]区间单调，所以(k-2)/2<=-2 或者 (k-2)/2>=2
（这个从函数图像比较好理解，主要看该区间[-2,2]在对称轴的左边，还是右边，左右各有一个単调）
则k<=-2 或者 k>=6

Answer 2

一：
f(-1)=a-b+1=0
f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/(4*a^2)+1>=0 恒成立，所以
1、a>0否则不可能恒成立
2、f(x)最小值=1-b^2/(4*a^2)=0
联立可得a = 1 ,b = 2
二：
f(x)=x^2+2x+1
则g(x)=x^2-(k-2)x+1
因为g(x)在[-2,2]区间单调，所以(k-2)/2<=-2 或者 (k-2)/2>=2（这个从函数图像比较好理解）
则k<=-2 或者 k>=6