Question

如图,以等腰三角形ABC的腰AB为直径的○O交底边BC于点D,作DE⊥AC,垂足为D

1.求证：DE与○O相切。

2.若点O在AB上向点B移动，以OB为半径的○O仍交BC于点D，那么DE与○O还相切吗？说明你的理由。
3.如果AB=AC=5cm，sinA=3/5，那么点O在AB上移动到什么位置时，以OB为半径的○O与AC相切？

Answer 1

证明：在圆O中，连接OD和AD  AB为直径 D为圆上一点

(1)     ∴∠ADB=90°  AD⊥BD

          ∵ABC是等腰三角形

          ∴BD=DC  D是BC的中点

          ∵O为AB的中点

          ∴OD//AC   DE⊥AC   

          ∵ DE⊥OD

          ∴DE是圆O的切线

(2) 如果O在AB上向B点移动结论仍然成立

证明： 在三角形ABC中

           ∵∠B=∠C    DE⊥AC

           ∴∠C+∠EDC=90°

           ∵OB=OD

           ∴∠B=∠ODB=∠C     ∠ODB+∠EDC=90°

           ∵∠ODB+∠EDC+∠ODE=180°

           ∴∠ODE=90°   即 OD⊥DE 

           ∴DE是圆O的切线

(3)    当AB=AC=5cm时 要使AC与圆O相切  设切点为H  圆O的半径为r

       ∴OH⊥AC 

        在直角三角形AOH中

       sinA=HO/AO =r/AO

       AO=(5/3)r    AB=AO+BO=2*(5/3)r=5

       R=3/2

       即当圆心O与B的距离是3/2时AC与圆相切