Question

已知函数y=f(x)是定义域在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=x²+4x+3. 1、求函数f（x）的解析式。

2、写出函数f(x)的单调递增区间。

Answer 1

设x>0,则-x<0
则f(-x)=x²-4x+3
由于函数y=f(x)是定义域在R上的奇函数，有f(x)=-f(-x)
所以
-f(x)=f(-x)=x²-4x+3
所以f(x)=-x²+4x-3；(当x>0时)
f（0)=-f(-0)
所以f(0)=0

即f(x)的解析式为
f(x)=-x²+4x-3；(当x>0时)
f(x)=0；(当x=0时)
f(x)=x²+4x+3；(当x<0时)

当x>0时，函数为f(x)=-x²+4x-3
此函数图像开口向下，在对称轴左边为增函数；函数对称轴为x=2
所以当x>0时，增区间为(0,2)
当x<0时，函数为f(x)=x²+4x+3
此函数图像开口向上，在对称轴右边为增函数；函数对称轴为x=-2
所以当x<0时，增区间为(-2,0)

综上，函数f(x)的单调递增区间为(-2,0）和(0,2）

追问

第二题的 f(x)的单调递增区间为（-2,0）或者（0,2） 这个画图的时候是要空心还是实心？

追答

要空心。他的图像在x=0是跳跃形式的，你可以画个图看下，很快就明白了。当x0但无限靠近0的时候，f(x)是要小于0的，接近-3；而f(0)又等于0，所以函数图像并不是连续的，在0处有了个跳跃

Answer 2

答：
1）
y=f(x)是定义在R上奇函数：
f(-x)=-f(x)
f(0)=0
x<0时：f(x)=x^2+4x+3
x>0时：-x<0，f(-x)=(-x)^2-4x+3=x^2-4x+3=-f(x)
所以：x>0时，f(x)=-x^2+4x-3
所以f(x)的解析式为：
x^2+4x+3，x<0
f(x)={ 0 x=0
-x^2+4x-3，x>0

2）
x<0时，f(x)=x^2+4x+3
求导：f'(x)=2x+4
解f'(x)=0得x=-2
x<-2时，f'(x)<0，f(x)是减函数
-2<x<0时，f'(x)>0，f(x)是增函数
根据对称轴，0<x<2时，f(x)也是增函数
所以：f(x)的单调递增区间为（-2,0）或者（0,2）

追问

第二题的 f(x)的单调递增区间为（-2,0）或者（0,2） 这个画图的时候是要空心还是实心？

追答

在-2和2上空心和实心都可以，一般用空心即可
在x=0处只能用空心，因为x=0是函数不连续