Question

如图1，在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为√2-1

直线l：y=-x-√2与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(4，1) ，⊙B与x轴相切于点M。
（1） ⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度?
（2）若直线l不动，⊙B沿x轴负方向平移过程中，能否与⊙O和直线l同时相切。若相切，说明理由
直线l：y=-x-√2与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(4，1) ，⊙B与x轴相切于点M。

Answer 1

解：（1）直线l：y=-x-√2．

当x=0时，y=-√2；

当y=0，时，x=-√2，

所以A（-√2，0）．

∵C（0，-√2），

∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．
如图2，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，
此时，直线l旋转到l1恰好与⊙B1第一次相切于点P，⊙B1与x轴相切于点N，连接B1O，B1N．
则MN=t，OB1=√2    

，B1N=1，B1N⊥AN．
∴ON=1，
∴MN=3，即t=3．
连接B1A，B1P，则B1P⊥AP，B1P=B1N，
∴∠PAB1=√2，

∴∠AB1O=∠NAB1．
∴∠PAB1=∠AB1O．
∴PA∥B1O．
在Rt△NOB1中，∠B1ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
∴直线AC绕点A平均每秒旋转90°÷3=30°．

第二问

能，设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B2，作B2E⊥AC于E，作OH⊥AC于H．
∵△OAC为等腰直角三角形，且OA=OC=√2，

∴根据勾股定理得到AC=2，
又OH⊥AC，
∴OH为斜边AC上的中线，
∴OH=1/2    

AC=1，
∵四边形B2EHO为平行四边形，
则B2E=OH=1，
故此时⊙B与直线l同时相切．

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追问

为什么顺时针转时是30°而不是90°呢？