Question

证明抽象代数中的题

如果 S 是群 G 的子集，则 S 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群

Answer 1

设S={s1,s2,……,}是G的子集,令S-1={s1-1,s2-1,……}，则<S>={a1a2……an……,其中ak是S或S1任一元，可以重复取}，则可以证明<S>是包含S元素的子群，并是所有包含S元素的最小子群。
证明：<S>是G的子群容易验证。设H为包含S的任一子群，根据群定义s1-1,s2-1,……都属于H，即S-1含于H，而且H还包含S和S-1中任意多个元的乘积，这说明<S>包含于H中。
由H的任意性，所以 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群
证毕！

追问

为什么H还包含S和S-1中任意多个元的乘积呢？

追答

因为群对运算的封闭性

Answer 2

这是生成子群的定义呀

追问

怎么证明这个定义呢？