Question

数学建模问题急~!

银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱．所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清．
1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有无好坏之分；
2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；
3．写一篇论文，介绍你的研究成果

Answer 1

摘要:由于现今年轻人对房屋的需求集聚增长，建立了房屋贷款方案的优化模型，使年轻人在满足一定的社会效益和获得最大的经济效益的前提下，给出了以下三种方案，并提供了有关方案的交好的建议。
在模型1中，对等额本息还款法作出了相应的计算，得出等额本息还款法的月均还款数和还款总额数（1509.57元 362297.11元）。在模型2中，由题目推出公式（Xi=(a-(i-1)a/n)r+a/n）计算了等额本金还款法的一些数据（1月,1942.67(元) 2月,1938.04(元) 3月,1933.42(元) ……239月,842.58(元) 240月,837.96(元) ），并对以上两中方案进行了比较，给年轻人一个比较满意的答复。而对问题2，采集方法是自由还款方式，我们给出了公式，以及公式的推导过程。有一些结论已经给出。（由于时间的不足和某些条件因素，此模型有待改进）。
关键词：月利率 贷款方式 其他贷款方式
1.1 问题的提出
我第一次接触房屋贷款问题，我才明白世人为自己的生活付出了种种。在这样的背景下：随着我国社会和的发展，人们对自己的居住条件提出了越来越高的要求，个人住房已逐步走向商业化、市场化。但是，我国城镇居民的人均收入还远远未达到能完全依靠自己购买理想住房的水平，何况，提前借钱买房、住房已逐步成为一种生活理念。银行界在贷款陷入困境，走投无路的情况下，也正是看上了这种社会需求，在早期个人贷款评估风险较低的情况下逐步开展了个人住房贷款业务，为银行资金找到了一条出路。
现提出以下几个问题：
（1） 建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有无好坏之分。
（2） 设计一些其它房贷还款方式
1.2 符号约定
r：银行月利息。
a：贷款数目。单位（元）。
Ai：第i个月所欠本金。
n：还款月数。
Xi:第i月还款数额。
b：最低月还款额。
1.3 问题的分析
本问题的难点是要考虑消费者的经济实力.对于经济实力的不同选择的贷款方式应该不同.使得银行和消费者的满意度达到最好.
1.4 基本的假设
(1) 还款时期内的月利率7%不变.
(2) 消费者的每月的消费十分理智.
1.5 模型的建立与求解
1.5.1 模型1-等额本息还款法
等额还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
Xi= a*(1+r)^n/n,
例如贷款20万元，要20年还清。
月均还款：1509.57元
还款总额：362297.11元
1.5.2 模型2-等额本金还款法
由题意得出这一公式：Xi=(a-(i-1)a/n)r+a/n
例如贷款20万元，要20年还清。
用这一公式我们可以得出每个月的还款数额
1月,1942.67(元)
2月,1938.04(元)
3月,1933.42(元)
4月,1928.8(元)
5月,1924.18(元)
……
236月,856.44(元)
237月,851.82(元)
238月,847.2(元)
239月,842.58(元)
240月,837.96(元)
还款总额：333674.67元
由上面数据X=x1+x2+x3+……+x(n-1)+xn 可以得出：
X=(x1-4.63xn)/(1-4.63)
1.5.2 模型3-自由还款方式
所谓自由还款方式，是指公积金中心在与借款人商定个人贷款金额、期限后，确定个人贷款每期的最低还款额度。借款人在不低于最低还款额度的情况下可自由选择每月还款额度。
A1=a,A2=a-(x1-ar),A3=A2-(x2-A2r), ……,An=A(n-1)-(x(n-1)-A(n-1)r)注（xi>b）
X=x1+x2+x3+……+xn-1+xn
由这些公式可以得出：如果借款人前期一直按照最低还款额还款的话，整体利息支付的绝对额肯定比以前的等额本息和等额本金两种还款方式的利息支付额要大。
1.6 模型的进一步分析
一个好的模型不能由于初始的数据的微小误差而导致结果的较大改变。我们对最少还款在一定条件下做了随机的微小波动，分别对模型1、模型2以及模型3加以检验，从检验的结果可以得出三个模型的稳定性比较好

1.7 模型的评价与推广
1.7.1优缺点
等额本息还款法和等额本金还款法的比较

1、等额还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。

由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。

这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择！

2、等额本金还款法，即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额。

由于每月所还本金固定，而每月贷款利息随着本金余额的减少而逐月递减，因此，等额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减（月递减额＝月还本金×月利率）。例如同样是借10万元、15年期的公积金贷款，等额还款法的月还款额为760.40元，而等额本金还款法的首月还款额为923.06元（以后每月递减2.04元）,比前者高出163.34元。由于后者提前归还了部分贷款本金 ，较前者实际上是减少占用和缩短占用了银行的钱，当然贷款利息总的计算下来就少一些（10年下来共计为3613.55元），而并不是借款人得到了什么额外实惠！

此种还款方式，适合生活负担会越来越重（养老、看病、孩子读书等）或预计收入会逐步减少的人使用。

可见，等额本金还款方式，不是节省利息的选择。如果真正有什么节省利息的良方，那就是应当学会理智消费，根据自己的经济实力，量体裁衣、量入为出，尽量少贷款、贷短款，才是唯一可行的方法。
等额本息还款法和等额本金还款法是目前各家银行普遍采用的两种住房贷款还款方式，一般市民到银行申请贷款，银行都会允许市民从这两种方式中选择一种。

　　等额本息还款法指市民在贷款期间内每月等额归还贷款本息。因为这种方式操作起来比较简单，只要每个月存入固定金额的资金就行了，所以有很多市民都选择了这种还款方式。银行人士告诉记者，这种方式比较适合对自己收入有信心的市民，虽然总的算下来，可能要比等额本金的方式多交一些利息，但因为简便，市民也就不很在乎每月多交的一点儿利息了。

　　等额本金还款法是指市民在贷款期间内每月等额归还本金，利息每月按照剩余本金乘以月利率计算。这样市民每个月需要归还的本息总额都在减少。因为归还本金的速度较快，对于有提前还款打算的市民，选择这种方式就比较合算。
1.7.2 模型推广
根据前面模型所建立的还款系统，可以很好的解决年轻人房屋贷款问题。在建摸过程中，简化了很多因素，因而与实际问题有所偏差，因此，要想建立更好的还款方案，可以对一个实际的房屋贷款方案进行计算机模拟，将得到的实际数据输入计算机程序，便可以得出更优的还款方案。
参考文献
[1] 姜启源。数学模型。北京：高等教育出版社， 1993
[2] 朱道元。数学建模案例精选。北京：科学出版社 2003
[3] 李尚志。数学建模竞赛教程。南京：江苏教育出版社， 1996