Question

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=x05=bx=3的图像经过点A(-1,0),顶

点为B（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标：（2）过点B作x轴垂线，垂足为H，如果点C的坐标为（4，0），AE垂直于BC，垂足为点E。《1》求证：△BHC全等于△AEC《2》点D在直线AE上,DE=1，求点D的坐标

Answer 1

（1）将点A的坐标代入，可得出b的值，从而求出函数解析式，然后可得出顶点坐标；
（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点H在点A的右侧，则可得出△ADH∽△ACE，从而有AH/AE=DH/CE=AD/AC，然后分别讨论，①若点D在AE的延长线上，则AD=5，解出x和y的值；若点D在线段AE上，则AD=3，同理也可求出点D的坐标．

• 答案：

（1）∵二次函数y=-x2+bx+3的图象经过点A（-1，0），

∴0=-1-b+3，

解得：b=2，

所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，

则这个二次函数图象顶点B的坐标为（1，4）；

（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，在Rt△BCF中，BF=4，CF=3，BC=5，

∴sin∠BCF=4/5，

在Rt△ACE中，sin∠ACE=AE/AC，

又∵AC=5，可得AE/5＝4/5，

∴AE=4，

过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点H在点A的右侧，

易证△ADH∽△ACE，

∴AH/AE=DH/CE=AD/AC，

其中CE=3，AE=4，

设点D的坐标为（x，y），则AH=x+1，DH=y，

①若点D在AE的延长线上（左图），则AD=5，

得(x+1)/4＝y/3＝5/5，

∴x=3，y=3，

所以点D的坐标为（3，3）；

②若点D在线段AE上（有图），则AD=3．

(x+1)/4＝y/3＝3/5，

∴x＝7/5，y＝9/5，

所以点D的坐标为（7/5，9/5）．

综上所述，点D的坐标为（3，3）或（7/5，9/5）