在△ABC中,∠C=90°,D是AC中点,求证AB²+3BC²=4BD²
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∵∠C=90°
∴AB²=BC²+AC²
BD²=BC²+CD²即CD²=BD²-BC²
∵D是AC中点
∴AC=2CD
∴AC²=4CD²=4(BD²-BC²)=4BD²-4BC²
∴AB²=BC²+4BD²-4BC²
即AB²+3BC²=4BD²
∴AB²=BC²+AC²
BD²=BC²+CD²即CD²=BD²-BC²
∵D是AC中点
∴AC=2CD
∴AC²=4CD²=4(BD²-BC²)=4BD²-4BC²
∴AB²=BC²+4BD²-4BC²
即AB²+3BC²=4BD²
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