Question

在三角形ABC中,AB=根号5,AC=2,BC=1,以AB为边向三角形ABC外作三角形ABD，使三角形ABD为等腰直角三角形

在三角形ABC中,AB=根号5,AC=2,BC=1,以AB为边向三角形ABC外作三角形ABD，使三角形ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长

Answer 1

解：
∵AC=4，BC=2，AB=2倍根号5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．∵DE⊥CB（已知） ∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余），∵△ABD为等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）
根据勾股定理得：CD=2√10；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA（已知） ∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义） ∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余）∵△ABD为等腰直角三角形（已知） ∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义）∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义）∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证）∴△ACB≌△DEA（AAS） ∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等） ∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2√13；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，易求CD=3√2．