Question

已知抛物线y^2=4x 过焦点F斜率大于0的直线l交抛物线于AB交准线于D

抛物线上是否存在M ，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB 的斜率总成等差数列，若存在，求M的坐标，若不存在请说明理由

Answer 1

将y²=4x与过焦点的直线y=k(x-1)联立,
消去x，得,关于y的一元二次方程 : ky²-4y-4k=0 由韦达定理得 y1*y2=-4.
消去y，得,关于x的一元二次方程 : kx²-(2k² 4)x k²=0, 由韦达定理得 X1*X2=1.
K1=Y1/X1, K2=Y2/X2, 所以K1*K2= Y1*Y2/X1*X2=-4（为定植）。
由不等式定理,当a>0,b>0时, 有 a b ≥√(ab)(当且仅当a=b时取 "=").所以有：
∣K1∣ ∣K2∣ ≥ 2√∣K1*K2∣=2√4=4.最小值是4。（当且仅当K1=-K2时取到最小值。）
注意：抛物线y²=2px,与过焦点的弦交点（X1,Y1),(X2,Y2)，由韦达定理得出的结论：X1*X2=p²/4, Y1*Y2=-p².常用到，但要先证明。小题可以直接用