Question

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围是[?22，+∞)[?22，+∞)．

Answer 1

∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=

1

2

（2^x-2^-x），g（x）=

1

2

（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为

a

2

(2x?2 ?x)  +

1

2

(2 2x+2?2x)  ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此将上面不等式整理，得：a≥?

22x+2?2x

2x?2?x

＝?

(2x?2?x) 2+2

2x?2?x

令t=2^x-2^-x，则t＞0
∴?

(2x?2?x) 2+2

2x?2?x

＝?(t+

2

t

)≤ ?2

2

因此，实数a的取值范围是a≥? 2

2

故答案为[?2

2

，+∞)