Question

已知函数f（x）=ax 2 -2ax+2+b（a＞0）在区间[2，3]上的值域为[2，5]（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的

已知函数f（x）=ax 2 -2ax+2+b（a＞0）在区间[2，3]上的值域为[2，5]（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的函数g（x）=f（x）-（m+1）x在区间[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a＞0，∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1． ∴函数f（x）在[2，3]上单调递增． 由条件得 f(2)=2 f(3)=5 ，即 2+b=2 3a+2+b=5 ，解得a=1，b=0．　 故a=1，b=0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0． ∴f（x）=x 2 -2x+2，从而g（x）=x 2 -（m+3）x+2．        ①若g（x）在[2，4]上递增，则对称轴 x= m+3 2 ≤2 ，解得m≤1； ②若g（x）在[2，4]上递减，则对称轴 x= m+3 2 ≥4 ，解得m≥5， 故所求m的取值范围是m≥5或m≤1．