Question

已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则x2+y2+2x?2y+2xy?x+y?1的最大值为______

已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则x2+y2+2x?2y+2xy?x+y?1的最大值为______．

Answer 1

由x，y满足2≤y≤4-x，x≥1，
画出可行域如图所示．
则A（2，2），B（1，3）．

x2+y2+2x?2y+2

xy?x+y?1

=

(x+1)2+(y?1)2

(x+1)(y?1)

=

x+1

y?1

+

y?1

x+1

，
令k=

y?1

x+1

，
则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（-1，1）的斜率．
而k_PA=

2?1

2?(?1)

＝

1

3

，kPB＝

3?1

1?(?1)

＝1，
∴

1

3

≤k≤1，
令f（k）=k+

1

k

，
则f′(k)＝1?

1

k2

＝

k2?1

k2

≤0．
∴函数f（k）单调递减，因此当k=

1

3

时，f（k）取得最大值，f(

1

3

)＝

1

3

+3＝

10

3

．
故答案为：

10

3

．