(2014?鄂尔多斯模拟)如图:AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.(Ⅰ)求证
(2014?鄂尔多斯模拟)如图:AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.(Ⅰ)求证:CF=BF;(Ⅱ)若AD=4,⊙O的半径为6,求B...
(2014?鄂尔多斯模拟)如图:AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.(Ⅰ)求证:CF=BF;(Ⅱ)若AD=4,⊙O的半径为6,求BC的长.
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(Ⅰ)证法一:连接CO交BD于点M,如图1…(1分)
∵C为弧BD的中点,∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴Rt△CEO≌Rt△BMO…(2分)
∴∠OCE=∠OBM…(3分)
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC…(4分)
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF…(5分)
(Ⅰ)证法二:延长CE 交圆O于点N,连接BN,如图2…(1分)
∵AB是直径且CN⊥AB于点E
∴∠NCB=∠CNB…(2分)
又∵弧CD=弧BC,∴∠CBD=∠CNB…(3分)
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…(4分)
∴CF=BF…(5分)
(Ⅱ)∵O,M分别为AB,BD的中点
∴OM=2=OE
∴EB=4…(7分)
在Rt△COE中,CE=
=4
…(9分)
∴在Rt△CEB中,BC=
=4
.…(10分)
∵C为弧BD的中点,∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴Rt△CEO≌Rt△BMO…(2分)
∴∠OCE=∠OBM…(3分)
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC…(4分)
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF…(5分)
(Ⅰ)证法二:延长CE 交圆O于点N,连接BN,如图2…(1分)
∵AB是直径且CN⊥AB于点E
∴∠NCB=∠CNB…(2分)
又∵弧CD=弧BC,∴∠CBD=∠CNB…(3分)
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…(4分)
∴CF=BF…(5分)
(Ⅱ)∵O,M分别为AB,BD的中点
∴OM=2=OE
∴EB=4…(7分)
在Rt△COE中,CE=
OC2-OE2 |
2 |
∴在Rt△CEB中,BC=
CE2+BD2 |
3 |
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