Question

如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是BC的中点，E是BC上任意一点，EP⊥BD于点P，EQ⊥AC于

如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是BC的中点，E是BC上任意一点，EP⊥BD于点P，EQ⊥AC于点Q，连接MP和MQ，试说明MP=MQ．

Answer 1

连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∵M为BC的中点，
∴OM=BM=CM，∠OBC=○OCB=45°=∠COM=∠BOM，∠OMB=90°，
∵∠BOC=90°，EQ⊥OC，EP⊥OB，
∴∠QOP=∠OPE=∠OQE=90°，
∴四边形OPEQ是矩形，
∴OQ=PE，∠OPE=90°，
∴∠BPE=90°，
∵∠PBC=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴BP=PE=OQ，
在△PBM和△QOM中

BP＝OQ ∠PBM＝∠QOM＝45° BM＝OM

∴△PBM≌△QOM，
∴MP=MQ．