Question

设函数 .(1)求函数 的单调区间和极值。(2)若关于 的方程 有三个不同实根，求实数

设函数 .(1)求函数 的单调区间和极值。(2)若关于 的方程 有三个不同实根，求实数 的取值范围；(3)已知当 (1，＋∞)时， 恒成立，求实数 的取值范围．

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Answer 1

（1）f(x)的单调递增区间为(－∞，－ )和( ，＋∞)；单调减区间为(－ ， )．当x＝－ 时，f(x)有极大值5＋4 ；当x＝ 时，f(x)有极小值5－4 .  （2）－4 <a<5＋4 （3）k≤－3

试题分析：(1) 解：f′(x)＝3x 2 －6，令f′(x)＝0，解得x 1 ＝－ ，x 2 ＝ . 因为当x> 或x<－ 时，f′(x)>0；当－ <x< 时，f′(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－ )和( ，＋∞)；单调减区间为(－ ， )． 当x＝－ 时，f(x)有极大值5＋4 ； 当x＝ 时，f(x)有极小值5－4 .                           ---————-3分 (2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4 <a<5＋4 时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的        6分 (3) 解：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x 2 ＋x－5)≥k(x－1)． 因为x>1，所以k≤x 2 ＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x 2 ＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数． 所以g(x)>g(1)＝－3. 所以k的取值范围是k≤－3.               10分 点评：本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法