如图，在△ABC中，已知∠A=90°时，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：
如图，在△ABC中，已知∠A=90°时，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：AB?AF=AC?DF．...
如图，在△ABC中，已知∠A=90°时，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：AB?AF=AC?DF．
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证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴
=
，
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED=
AC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，
=
，
∴AB?AF=AC?DF．
∴△CBA∽△ABD，
∴
| AB |
| BD |
| AC |
| AD |
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED=
| 1 |
| 2 |
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，
| AB |
| AC |
| DF |
| AF |
∴AB?AF=AC?DF．
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