Question

设曲面Σ为球面x2+y2+z2=R2，则?(x+|z|)2dS=______

设曲面Σ为球面x2+y2+z2=R2，则?(x+|z|)2dS=______．

Answer 1

原式=

?

(x2+2x|z|+z2)dS=

?

(x2+z2)dS+

?

2x|z|dS
由于∑是关于yoz面对称的，而第二个曲面积分的被积函数2x|z|是关于x的奇函数
因此，由曲面积分的对称性，知

?

2x|z|dS=0
∴原式=

?

(x2+z2)dS=

?

x2dS+

?

z2dS
而

?

x2dS=

?

y2dS=

?

z2dS
∴原式=

2

3

?

(x2+y2+z2)dS
=

2

3

R2

?

dS＝

2

3

R2?4πR2
=

8πR4

3