Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为 ，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（-1，0），C

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为 ，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（-1，0），C、D两点在抛物线y= x 2 +bx+c上。（1）求此抛物线的表达式；（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒 个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B 1 点，试判断B 1 点是否在抛物线上，并说明理由；（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A 2 B 2 C 2 D 2 ，A 2 点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离。

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Answer 1

解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F， ∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90°， 即∠1+∠ABO=∠2+∠ABO=90°， ∴∠1=∠2， 在Rt△BCE和Rt△ABO中， ∵∠1=∠2，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90°， ∴Rt△BCE≌Rt△ABO， ∴CE=BO，BE=AO， ∵B（-1，0）， ∴BO=1， ∵AB= ， ∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO= =2， ∴CE=1，BE=2， ∴OE=BE-BO=1， ∴C（1，-1）， 同理可得△ADF≌△ABO， ∴DF=AO=2，AF=BO=1， ∴OF=AO-AF=2-1=1， ∴D（2，1）， 将C（1，-1）、D（2，1）分别代入y= x 2 +bx+c中， 可得 解得 ∴此抛物线的表达式为y= x 2 + x-2；
（2）点B 1 在抛物线上， 理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为 ×1= ，则BB 1 = ， 如图，过点B 1 作B 1 N⊥x轴于点N， 在Rt△ABO与Rt△BNB 1 中， ∵∠AOB=∠BNB 1 =90°，∠2=∠B 1 BN=90°-∠ABO，AB=B 1 B， ∴Rt△ABO≌Rt△BB 1 N， ∴B 1 N=BO=1，NB=AO=2， ∴NO=NB+BO=2+1=3， ∴B 1 （-3，1）， 将点B 1 （-3，1）代入 中，可得点B 1 （-3，1）在抛物线上；
（3）如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A 2 B 2 C 2 D 2 ， ∵∠1=∠2，∠BB 2 A 2 =∠AOB， ∴△A 2 BB 2 ∽△BAO， ∴ ∵AO=2，BO=1，A 2 B 2 = ， 即 ， ∴BB 2 =2 ， ∴正方形ABCD平移的距离为2 。