Question

已知数列｛an｝中，a1=1,a(n+1)=an/an+3(n∈N+）（1）求a2,a3(2)求证：｛(1/an)+1/2｝是等比数列，并求

已知数列｛an｝中，a1=1,a(n+1)=an/an+3(n∈N+）（1）求a2,a3(2)求证：｛(1/an)+1/2｝是等比数列，并求｛an｝的通项公式an（3）数列｛bn｝满足bn=[(3^n)-1].n/2^n.an,数列｛bn｝的前n项和为Tn，若不等式（-1）^m＜Tn+n/2^(n-1)对一切n∈N+恒成立，求m的取值范围，请详细回答，谢谢

Answer 1

（1）、
a2=a1/a1+3=1/(1+3)=1/4
a3=a2/a2+3=1/4/(1/4+3)=1/13
（2）、
设数列An=(1/an)+1/2,A1=（1/a1)+1/2=3/2
A(n+1)=(1/(an+1))+1/2
=(1/(an/an+3)+1/2
=3((1/an)+1/2)
A(n+1)/An=3((1/an)+1/2)/((1/an)+1/2)=3
所以数列An=(1/an)+1/2为等比数列，即：｛(1/an)+1/2｝是等比数列。
An=(1/an)+1/2
=A1*3^(n-1)
=3/2*3^(n-1)
=(3^n)/2
1/an=An-1/2=(3^n)/2-1/2=((3^n)-1)/2
则通项公式an=2/((3^n)-1)。
（3）、
bn=[(3^n)-1].n/2^n.an
=[(3^n)-1].n/2^n*(2/((3^n)-1)
=2n/(2^n)
b1=2*1/2^1=1,
b2=2*2/2^2=1,
b3=2*3/2^3=3/4
...
bn=2n/(2^n)∝1/2^n
2＜Tn
（-1）^m＜Tn+n/2^(n-1)永远成立，
所以m为任意数