Question

急求高数题

急求高数题第10题的1，2小题

Answer 1

(1)
级数∑(-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)
Un=x^(2n-1)/(2n-1)
Un+1=x^(2n+1)/(2n+1)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim |x^(2n+1) (2n-1)/x^(2n-1)(2n+1)|
=lim |x|²(2n+1)/(2n-1)
=|x|²＜1
收敛区间为(-1，1)
当x=-1时，级数∑(-1)^(3n-2)/(2n-1)
交错级数，莱布尼茨判别法
可得级数收敛。
当x=1时，级数∑(-1)^(n-1)/(2n-1)
交错级数，莱布尼茨判别法
可得级数收敛
所以收敛域为[-1，1]
S=∑(-1)^n x^(2n-1)/(2n-1)
逐项求导
S'=∑(-1)^(n-1) x^(2n-2)
公比为-x²，首项为1
=[1-(-x²)^n]/(1+x²)
=1/(1+x²)
积分
得S=arctanx 其中|x|＜1
(2)
级数∑2n x^(2n-1)
Un=2n x^(2n-1)
Un+1=2(n+1) x^(2n+1)
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim |2(n+1) x^(2n+1)/2n x^(2n-1)|
=lim |x|²2(n+1)/2n
=|x|²＜1
收敛区间为(-1，1)
当x=-1时，级数∑(-1)^(2n-1) 2n/(2n-1)
交错级数，莱布尼茨判别法
可得级数收敛。
当x=1时，级数∑2n/(2n-1)
用比较审敛法，跟调和函数比较
可得级数发散
所以收敛域为[-1，1)
S=∑2n x^(2n-1)
逐项积分得
∫S=∑x^(2n)
公比为x²，首项为x²
=x²[1-(x²)^n]/(1-x²)
=x²/(1-x²)
求导
得S=[2x(1-x²)-x²(-2x)]/(1-x²)²
=(2x-2x³+2x³)/(1-x²)²
=2x/(1-x²)² 其中|x|＜1