Question

请问lnx/(x+1)的不定积分怎么算？

请问lnx/(x+1)的不定积分怎么算？算过lnx/x不定积分只要写成lnxdlnx就能算出1/2(lnx)^2，那么lnx/(x+1)怎么算不出来？用分部积分法只会来回循环得不出答案，请问这个积分怎么算？

Answer 1

令t=x+1则:

∫lnx/(x+1)dx

=∫ln(t-1)/t dt

=∫ln(t-1)d(lnt)

=(lnt)ln(t-1)-∫lnt/(t-1)dt

=(te^t)/(1+e^t)-ln(1+e^t)+C

=(x+1)e^(x+1)/[1+e^(1+x)]-ln[1+e^(x+1)]+C

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

令t=x+1则
∫lnx/(x+1)dx=∫ln(t-1)/t dt=∫ln(t-1)d(lnt)=(lnt)ln(t-1)-∫lnt/(t-1)dt=(te^t)/(1+e^t)-ln(1+e^t)+C=(x+1)e^(x+1)/[1+e^(1+x)]-ln[1+e^(x+1)]+C