Question

已知CA=CB, ∠CAB=∠CBA=80°,∠CAF=20°,∠CBE=30°.求∠EFA的度数

Answer 1

郭敦顒回答：
∵∠A=∠B=80°，∠C=20°，∠CAF=∠C=20°，∴ AC=BC，AF=CF，
∵∠ABE=80°－30°=50°，∠AEB=180°－80°－50°=50°，
∴∠ABE=∠AEB，AB=AE。
作CD⊥AB于D，设AD=BD=1，则AC=BC=1/cos80°=5.75877，
AB=AE=2，CE=5.75877－2=3.75877。
作FG⊥AC于G，则AG=CG= 5.75877/2=2.879385，
AF=CF=2.879385/cos20°=3.064178，
在△CEF中，按余弦定理：
cos20°=（3.75877²+3.064178²－EF²）/（2*3.064178*3.75877）=0.939693，
EF²=1.871658 ，EF=1.36809；
按正弦定理：3.75877/sin∠CFE=1.36809/sin20°=4，
sin∠CFE= 3.75877/4=0939693，∠CFE=110°，
∠BFE=180°－110°=70°，
∠EFA=70°－40°=30°。

追问

有简单的方法吗？比如相似或者等边去证明

Answer 2

以A为圆心，AE为半径，交BC于D，连接ED
AE=AD
∵∠CAB=∠CBA=80°,∠CAF=20°，∠CBE=30°
∴∠AEB=50°，∠ABE=50°
∴AB=AE=AD，∠ADB=80°△ABD为等腰三角形
∴∠BAD=20°
∴∠DAF=40°，∠EAD=60°
∴△AED为等边三角形，
∠EDA=∠EAD=∠AED=60°
∴∠DAF=40°=∠AFB，
∴△ADF为等腰三角形，
∵∠ADB=80°，∠EDA=60°
∴∠EDF=40°
∴∠EFD=∠FED=70°
∴∠EFA=∠EFD-∠AFB=70°-40°=30°

Answer 3

在FB上取点D使AD＝AB，
由题意易推∠ABE＝∠AEB＝50°，
所以，AE＝AB
又因为AB＝AD，
所以①AE＝AD，
②∠ABD＝∠ADB＝80°
③∠BAD＝20°
所以∠EAD＝60°，又AE＝AD
故△AED是等边三角形
所以AE＝AD＝ED
因为∠FAD＝∠EAD－∠CAF＝60°-20°＝40°
∠AFD＝40°
所以AD＝FD
又等边三角形△AED中AD＝ED
所以ED＝FD
又∠EDF＝40°
所以∠EFD＝∠FED＝70°
又在△AFB中易知∠AFB＝40°
所以∠EFA＝∠EFD－∠AFB＝70°-40°＝30°

Answer 4

AEF三角形延AE镜像该三角形，得到BF'A三角形，BF'A三角形与
∠EFA的度数相等，∠BF'A=180-20-20-60-50=30

Answer 5

如有考虑不周之处，敬请谅解。因为很久没做几何了2333