Question

定积分几何应用求体积问题

图中第10题的旋转体体积V(t)如何求解？

Answer 1

10. V(t) = ∫<0, π>(t-sinx)^2 dx = ∫<0, π>[t^2-2tsinx+(sinx)^2]dx
= ∫<0, π>[1/2+t^2-2tsinx-(1/2)cos2x]dx
= [x/2+xt^2+2tcosx-(1/4)sin2x]<0, π> = π/2+πt^2-4t
dV(t)/dt = 2πt-4, 得唯一驻点 t = 2/π,
d^2V(t)/dt^2 = 2π > 0, t = 2/π 时， V(t) 最小， 此时 V(t) = π/2 - 4/π.

追问

你的第一步就出错了，少了一个π

追答

抱歉，遗漏了。

追问

没事，谢谢你！

Answer 2

10. V(t) = ∫<0, π>π(t-sinx)^2 dx
=π ∫<0, π>[t^2-2tsinx+(sinx)^2]dx
=π ∫<0, π>[t^2-2tsinx+1/2-（1/2）cos2x）]dx
=π [t^2x+2tcosx+x/2-(1/4)sin2x]<0, π>
=π(πt^2-4t+π/2）
=π[π(t-2/π)^2+π/2-4/π],
所以t=2/π时V取最小值π^2/2-4.