Question

大一高数求解

Answer 1

先证明f(x)在(0,π)上至少有两个零点：
由sinx>0,显然f(x)在区间内必有一个零点.设为x0.
假设f(x)在区间内只有x0这一个零点.
不妨设x∈(0,x0)时f(x)<0,x∈(x0,π)时f(x)>0.
考虑积分∫(0,π) f(x)*sin(x-x0)dx
=∫(0,π) f(x)*(sinx*cosx0-cosx*sinx0)dx
=cosx0*∫(0,π) f(x)*sinxdx-sinx0*∫(0,π) f(x)*cosxdx
=0.
但同时有
∫(0,π) f(x)*sin(x-x0)dx=∫(0,x0) +∫(x0,π) f(x)*sin(x-x0)>0
矛盾.故假设不真,即f(x)在(0,π)上至少有两个零点.
设两个零点为x1,x2.由Rolle定理,存在ξ,f'(ξ)=0.
证毕.