Question

平行四边形ABCD中，以AC为斜边作RT△AMC，且∠BMD为直角。 求证：四边形ABCD是矩形

Answer 1

学过圆吗？
证明：若存在一点M使得△AMC和△BMD都为
直角三角形
，那么分别以AC、BD为直径作圆，
因为是
平行四边形
，所以对角线必然平分，那么以AC、BD为直径所作的圆是
同心圆
（以对角线的交点O）那么只有当AC=BD时两圆才会有交点重合。所以平行四边形ABCD为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）。

Answer 2

以ac为斜边作rt△amc，可知∠amc=90°，ac为△amc的外接圆直径，由∠bmd为直角知bd为△bmd的外接圆直径，所以a,b,c,d,m五点共圆，所以ac与bd相等且互相平分，所以四边形abcd是矩形。