Question

已知函数f（x）=ax–lnx+(a–1)/x–1,试讨论f（x）的单调性

已知函数f（x）=ax–lnx+(a–1)/x–1,试讨论f（x）的单调性

Answer 1

f'(x)=a-1/x-(a-1)/x²=(ax²-x-a+1)/x²=(ax+a-1)(x-1)/x²
定义域为x>0
讨论a:
1）若a<=0,则在x>0 有极值点x=1
x>1时，单调减，
0<x<1时，单调增。
2）若0<a<1/2，且a≠1/2,则有极值点x=1, 1/a-1
当0<x<1或x>(1/a-1)时，单调增
当1<x<1/a-1时，单调减
3)若a=1/2, 则f'(x)=1/2*(x-1)²/x²>=0,函数在x>0单调增；
4）若1/2<a<1, 有极值点x=1/a-1, 1
当0<x<1/a-1或x>1时单调增；
当1/a-1<x<1 时单调减；
5）若a>=1, 有极值点x=1
x>1时单调增；
0<x<1时单调减。