Question

求解以下几道微积分题目。

Answer 1

1、原式=∫[(1-2x+x²)/x]dx=∫[(1/x)-2+x]dx=-(1/x²)-2x+(x²/2)+C；
2、原式=-∫sinx²cos²x d(cosx)=-∫(1-cos²x)cos²x d(cosx)=(1/5)(cosx)^5 -(1/3)cos³x；
3、原式=∫d(arcsinx)/(arcsinx)²=-1/arcsinx +C；
4、令 x+2=t³，则 dx=3t²dt；原式=∫[1/(1+t)]3t²dt=3∫[(1+t)-2 +1/(1+t)]d(1+t)
=(3/2)(1+t)²-6(1+t)+3ln(1+t)+C=(3/2)[1+(x+2)^(1/3)]-6[1+(x+2)^(1/3)]+3ln[1+(x+2)^(1/3)]+C；
5、原式=∫arctanx d(x²/2)=(x²/2)arctanx-∫(x²/2)d(arctanx)=(x²/2)arctanx-∫[(x²/2)/(1+x²)]dx
=(x²/2)arctanx-(x/2)+∫[(1/2)/(1+x²)]dx=(x²/2)arctanx-(x/2)+(1/2)arctanx+C；
6、原式=∫lnx d(x³/3)=(x³/3)lnx-∫(x³/3)d(lnx)=(x³/3)lnx-∫(x²/3)dx=(x³/3)lnx-(x³/9)+C；
7、令 √x=t，则 dx=dt²=2tdt；原式=∫e^t 2tdt=2te^t -2∫e^t dt=2(t-1)e^t +C=2(√x -1)e^(√x)+C；
8、原式=∫{1/[(x-2)(x-3)}dx=∫[1/(x-2) -1/(x-3)]dx=ln(x-2)-ln(x-3)+C；