Question

matlab迭代问题

设方程 4x^4-4x^2=0
2.用迭代法求的所有根，设迭代函数为f（x）=（3x^3-x)/(4x^2-2)
1)验证取该迭代函数的正确性；
2)分别取初值为-1.1,-1,-0.9,….,0.9,1,1.1,观察迭代结果，是否得到了原方程的根；
3)由2)，总结出使得迭代序列收敛到每个根时，初值的范围，比如要使迭代序列收敛到0（方程的一个根）初值应该在什么集合中选取，找出每个根的这样的初值集合。寻找的方法，可以是理论分析方法或数值实验方法

Answer 1

用这两句代码
syms x
solve(4*x^4-4*x^2)
求得根：
ans =

0
0
1
-1

1)验证取该迭代函数的正确性
就是把根代进去，看是否能得到0
root =
0 1 -1
牛顿法,初始值p0=0
误差限10^-6，结果误差|p-p0|=
0
用牛顿法求得方程的根为
0
牛顿法,初始值p0=1
误差限10^-6，结果误差|p-p0|=
0
用牛顿法求得方程的根为
1
牛顿法,初始值p0=-1
误差限10^-6，结果误差|p-p0|=
0
用牛顿法求得方程的根为
-1

plus =
0 1 -1

故该函数正确。
代码：
root=[0,1,-1]
f=@(x)(3*x.^3-x)./(4*x.^2-2);
plus=zeros(1,size(root,2));
for counter=1:size(root,2)
n0=80;
p0=root(counter);
disp(['牛顿法,','初始值p0=',num2str(p0)])
for i=1:n0
p=f(p0);
if abs(p-p0)<=10^(-6)
disp('误差限10^-6，结果误差|p-p0|=')
disp(abs(p-p0))
disp('用牛顿法求得方程的根为')
disp(p);
plus(counter)=p;
break;
else
p0=p;
end
end
if i==n0
disp(n0)
disp('次牛顿迭代后无法求出方程的解')
end

end
plus

2）分别取初值为-1.1,-1,-0.9,….,0.9,1,1.1,观察迭代结果，是否得到了原方程的根；
我取值：
Columns 1 through 9
-1.1000 -1.0000 -0.9000 -0.8000 -0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000 -0.3000
Columns 10 through 18
-0.2000 -0.1000 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000
Columns 19 through 23
0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000
对应计算结果是：
Columns 1 through 9
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000
Columns 10 through 18
-0.0000 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000
Columns 19 through 23
-1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

可以看出都得到了原方程的根。
代码：
将上一问代码改为的root部分改为root=-1.1:0.1:1.1;即可。

3)由2)，总结出使得迭代序列收敛到每个根时，初值的范围，比如要使迭代序列收敛到0（方程的一个根）初值应该在什么集合中选取，找出每个根的这样的初值集合。寻找的方法，可以是理论分析方法或数值实验方法

通过数值实验，将第一问代码的root的范围修改就可以用于测试，得到的结果是：
x<=-0.7时，总是得到-1
x在-0.6到0.6之间时，为0
x>=0.7时，总是得到1

给出测试-40到2的结果，间隔是0.1：
Columns 1 through 9
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 10 through 18
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 19 through 27
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 28 through 36
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 37 through 45
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 46 through 54
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 55 through 63
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 64 through 72
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 73 through 81
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 82 through 90
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 91 through 99
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 100 through 108
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 109 through 117
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 118 through 126
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 127 through 135
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 136 through 144
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 145 through 153
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 154 through 162
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 163 through 171
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 172 through 180
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 181 through 189
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 190 through 198
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 199 through 207
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 208 through 216
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 217 through 225
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 226 through 234
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 235 through 243
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 244 through 252
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 253 through 261
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 262 through 270
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 271 through 279
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 280 through 288
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 289 through 297
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 298 through 306
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 307 through 315
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 316 through 324
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 325 through 333
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 334 through 342
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 343 through 351
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 352 through 360
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 361 through 369
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 370 through 378
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 379 through 387
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000
Columns 388 through 396
-1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 0.0000 -0.0000
Columns 397 through 405
-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 406 through 414
0.0000 -0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Columns 415 through 421
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000