一个高中数学的立体图形证明题目,只要你回答出来,一定好评,在线等。

韩增民松
2014-09-23 · TA获得超过2.3万个赞
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在平面四边形PABC中,PA=AC=2,∠P=45°,∠B=90°,∠PCB=105°,将四边形PABC沿AC折起,使面PAC⊥面ABC,D,E分别是棱PB,PC的中点。
(1)求证:BC⊥面PAB;
(2)求面ADE与面ABC所成角的余弦值。
(1)证明:∵在平面四边形PABC中,PA=AC=2,∠P=45°,
∴PA⊥AC
∵∠B=90°,∠PCB=105°,∴∠ACB=60°,∠BAC=30°,
∵PAC⊥面ABC,∴PA⊥面ABC
∵面PAC∩面PAB=PA,∴面PAB⊥面ABC
∵∠ABC=90°,∴BC⊥面PAB;
(2)解析:过A作AG⊥面PAC;
建立以A为原点,以AC方向为X轴,以AG方向盘为Y轴,以AP方向盘为Z轴正方向的空间直角三角形坐标系A-xyz
则点坐标:A(0,0,0),B(3/2,√3/2,0),C(2,0,0),P(0,0,2),E(1,0,1),D(3/4,√3/4,1)
向量AD=(3/4,√3/4,1),向量AE=(1,0,1),
设向量m=(x,y,z)是面ADE的一个法向量
向量AE*m=x+z=0
向量AD*m=3/4x+√3/4y+z=0
令y=√3,则x=3,z=-3
∴向量m=(3,√3,-3)==>|向量m|=√21
取平面ABC的法向量n=(0,0,1)
向量m*向量n=-3
则cos<m,n>=m*n/[|m||n|]=-3/√21=-√21/7
∴ADE与面ABC所成角的余弦值为√21/7
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