Question

可积函数变上限积分一定是连续函数吗？

考研数学全书中说，在区间[a,b]上有有限个间断点的函数在该区间上必可积，请问这个间断点必须是第一类间断点吗？还是仅除去无穷间断点以外的间断点？还有若是跳跃间断点，则它的变上限积分在该点处还连续吗？想过去应该不连续吧！求高手解答

Answer 1

这个间断点包括所有的间断点。

注意以下性质：若f在[a，b]上有界且在[a，b]上除去有限个点外是连续的，则f在[a，b]上可积。积分的几何意义就是求曲边梯形的面积，在曲线上去除有限个点，是不会影响梯形的面积的。

积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。

扩展资料：

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于现在函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

参考资料来源：百度百科——连续函数

Answer 2

可积函数变上限积分不一定是连续函数。

这个间断点包括所有的间断点。

注意以下性质：若f在[a，b]上有界且在[a，b]上除去有限个点外是连续的，则f在[a，b]上可积。积分的几何意义就是求曲边梯形的面积，在曲线上去除有限个点，是不会影响梯形的面积的。

积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。

扩展资料

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位由两数的符号按异或运而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。设n位被乘数和乘数用定点小数表示:

被乘数 [x]原 = xf .x0 x1 x2 „ xn

乘数 [y]原 = yf .y0 y1 y2 „ yn 则

乘积 [ z ]原 = ( xf⊕yf ) . (0. x0 x1 x2 „xn)(0 . y1 y2 „yn)

式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。

乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于被乘数和乘数和符号组合只有(xf yf = 00，01，10，11),因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。

数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法相类似，不过对于用二进制表达的数来说，其

更为简单一些：从乘法y的最低位开始，若这一位为“1”，则将被乘数x写下；若这一位为“下全0。然后再对乘数y的高一位进行的乘法运算，其规则同上，不过这一位乘数的权与最低位不一样，因此被乘数x要左移一位。依次类推，直到乘数各位乘完为止，最后将它们统统加起来最后乘积z 。

Answer 3

这个间断点包括所有的间断点。
注意以下性质：若f在[a,b]上有界且在[a,b]上除去有限个点外是连续的，则f在[a,b]上可积。
积分的几何意义就是求曲边梯形的面积，在曲线上去除有限个点，是不会影响梯形的面积的。

追问

应该不包含所有间断点吧，如果有无穷间断点函数就无界了

追答

在积分学一章中有专门讲反常积分的。其中讲到了无穷区间上的积分和无界函数的积分。当结果存在时积分收敛，否则积分发散。可见定积分的基本限制条件：（1）[a,b]是有限闭区间；（2）f是[a,b]上的有界函数；这两个条件是可以突破的。
或许您有这样的疑问，如果函数是无界的，那么计算面积时结果不会趋于无穷大吗？对此，可参考高等数学无穷级数这一章，注意收敛与发散的概念。