Question

关于高二数学课本选修2-1的一道数学题

题目为:过原点的直线与圆 X的平方+Y的平方-6X+5=0 相交A,B两点 求弦AB的中点M的轨迹 方程

Answer 1

方法一：
设过原点的直线是y=kx，圆的方程是(x-3)^2+y^2=4，那么直线与圆相交时|k|<arctan(2/根号5)
x^2+(kx)^2-6x+5=0，M(x,y)的横坐标是两交点的横坐标的平均数，由维达定理x=3/(1+k^2)
得出k=√[（3-x）/x
]
根据y=kx即可求出点M的轨迹
方程
y=x*√[（3-x）/x
]
y^2=3x-x^2
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方法二：
原点的直线和过弦中点与圆心的直线垂直
设M点的坐标为(X,Y)，中点M在过原点的直线上，所以过原点的直线斜率为k1=y/x
过弦中点与圆心(3,0)的直线斜率为k2=y/(x-3)
K1*k2=-1
最后得到y^2=3x-x^2