Question

已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x

已知函数f（x）=alnx+12x2-（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意正整数m，n，不等式1ln(m+1)+1ln(m+2)+…+1ln(m+n)＞nm(m+n)恒成立．

Answer 1

（1）∵f′（x）=

a

x

+x-（1+a），
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则f′（x）=

(x?1)2

x

≥0，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-

1

2

，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=-

1

2

，
此时，f（1）≥0，解得a≤-

1

2

，
故实数a的取值范围是（-∞，-

1

2

）．
（3）由（2）知，当a=-

1

2

时，
f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
这个不等式等价于lnx≤x²-x．
当x＞1时，变换为

1

lnx

＞

1

x2?x

=

1

x?1

-

1

x

，
因此不等式左边＞（

1

m

-

1

m+1

）+（

1

m+1

-

1

m+2

）+…+（

1

m+n?1

-

1

m+n

）=

1

m

-

1

m+n

=

n

m(m+n)

，
从而得证．