如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF ∥

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A-EF... 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF ∥ 平面SAD （2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小． 展开
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#合辑# 面试问优缺点怎么回答最加分？
王德彪虏衬16
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法一：
（1）作FG ∥ DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接 AG，FG
∥
.
.
1
2
CD ，又 CD
∥
.
.
AB ，
故 FG
∥
.
.
AE，AEFG 为平行四边形．EF ∥ AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
所以EF ∥ 平面SAD．
（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等
腰直角三角形．
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，


所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角 tan∠DMH=
DH
HM
=
 2
1
=
 2
．
所以二面角A-EF-D的大小为 arctan
 2
．

法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．


设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0）， E(a，
a
2
，0)，F(0，
a
2
，
b
2
) ，
EF
=(-a，0，
b
2
) ．
取SD的中点 G(0，0，
b
2
) ，则
AG
=(-a，0，
b
2
) ．
EF
=
AG
，EF ∥ AG，AG? 平面SAD，EF?平面SAD，
所以EF ∥ 平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2）， E(1，
1
2
，0) ， F(0，
1
2
，1) ．EF中点 M(
1
2
，
1
2
，
1
2
) ，
MD
=(-
1
2
，-
1
2
，-
1
2
) ，
EF
=(-1，0，1) ，
MD
?
EF
=0，MD⊥EF
又
EA
=(0，-
1
2
，0) ，
EA
?
EF
=0，EA⊥EF ，
所以向量
MD
和
EA
的夹角等于二面角A-EF-D的平面角． cos＜
MD
，
EA
＞=
MD
?
EA
|
M
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