Question

如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°. （

如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°. （1）求△AOB的面积；（2）求点C坐标；（3）点P是x轴上的一个动点，设P（x,0）①请用x的代数式表示PB 2 、PC 2 ；②是否存在这样的点P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点P的坐标.

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Answer 1

(1)6；（2）（7，4）；（3）① ， ；②存在这样的P点，P（3，0）.

试题分析：（1）先由直线 求出A、B两点的横坐标，即OA、OB的长，从而可求出△AOB的面积； （2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，构造Rt△ADC.易证△OAB≌△DCA，从而可求出CD=4，OD=7,所以C点坐标为（7，4）； （3）①由（2）可知，PD=7-x，在Rt△OPB中， ，Rt△PCD中， ②存在这样的P点．P（3，0）. 试题解析：（1）由直线 ，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，∴S △AOB = ×4×3=6； （2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠BAO=∠ACD， 又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°， ∴△OAB≌△DCA， ∴CD=OA=4，AD=OB=3，则OD=4+3=7， ∴C（7，4）； （3）①由（2）可知，PD=7-x， 在Rt△OPB中，PB 2 =OP 2 +OB 2 =x 2 +9， Rt△PCD中，PC 2 =PD 2 +CD 2 =（7-x） 2 +16=x 2 -14x+65， ②存在这样的P点． 设B点关于 x轴对称的点为B′，则B′（0，-3）， 连接CB′，设直线B′C解析式为y=kx+b，将B′、C两点坐标代入，得 解得 所以，直线B′C解析式为y=x-3， 令y=0，得P（3，0），此时|PC-PB|的值最大，