Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），{bn}为等比数列，且b1=1，b4=127．（1）求数列{

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），{bn}为等比数列，且b1=1，b4=127．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．（3）求和：Mn=12a1+13a2+…+1(n+1)an．

Answer 1

（1）∵na_n+1=S_n+n（n+1）
∴（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）（n≥2）
两式相减可得，na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+2n
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，（n≥2）
整理可得，a_n+1=a_n+2（n≥2）（*）
由a₁=2，可得a₂=S₁+2=4，a₂-a₁=2适合（*）
故数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，a_n=2+（n-1）×2=2n，
∵{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=

1

27

，
∴q³=

1

27

，∴q=

1

3

，
∴b_n=1?(

1

3

)n?1=(

1

3

)n?1．
（2）c_n=a_nb_n=2n?(

1

3

)n?1，
∴T_n=2?(

1

3

)0+4?(

1

3

)1+6?(

1

3

)2+…+2n?(

1

3

)n?1，

1

3

T_n=2?(

1

3

)1+4?(

1

3

)2+6?(

1

3

)3+…+2（n-1）?(

1

3

)n?1+2n?(

1

3

)n，
两式相减得

2

3

T_n=2?(

1

3

)0+2?(

1

3

)1+2?(

1

3

)2+…+2?(

1

3

)n?1-2n?(

1

3

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