Question

在三角形ABC中,角BAC=90°,D为三角形内一点,且AB=AC=BD,AD=DC,求证角ABD=30°

Answer 1

证明：

过点D作DE//AB，过点A作AE//BD

AE和DE相交于点E，DE与AC相交于点F

因为：∠BAC=90°，DE//AB

所以：DE⊥AC

因为：AD=CD

所以：DE是AC的垂直平分线，F是AC的中点

平行四边形ABDE中：AB=BD

所以：ABDE是菱形

所以：AB=BD=DE=AE

因为：DE是AC的垂直平分线

所以：AE=CE

因为：AB=AC=BD

所以：AB=AC=BD=AE=DE=CE

所以：△ACE是等边三角形

所以：∠CAE=60°

所以：∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+60°=150°

因为：ABDE是菱形

所以：∠ABD=180°-∠BAE=180°-150°=30°

所以：∠ABD=30°

Answer 2

以点A为原点,AC`AB为X轴`y轴 设AB=AC=a 因为AD=CD 所以D点横坐标为a/2 设D纵坐标为y BD=a 即(a/2)^2 (y-1)^2=a^2 y=[(2-根号3)/2]a AD^2=(1/2)^2 y^2=2-根号3 用余弦定理,角ABD的余弦=(AB^2 BD^2-AD^2)/(2AB*BD) 可算出角ABD=30