Question

观察下列各式:1*2*3*4+1=5∧2 2*3*4*5+1=11∧2

观察下列各式:1*2*3*4+1=5∧2 2*3*4*5+1=11∧2 3*4*5*6+1=19∧2 4*5*6*7+1=29∧2
(1)请写出一个规律性的结论，并说明理由
(2)根据(1)在的规律，计算根号100*101*102*103+1的值

Answer 1

（1）结论就是，四个连续自然数相乘再加上1等于首尾两个自然数相乘再加上1的和的平方，或者等于中间两个数相乘再减去1的差的平方。证明：设四个连续的自然数为n，n+1，n+2，n+3，那么n*（n+1）*（n+2）*（n+3）+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1首尾两数相乘再加上1的和的平方为：{[n*（n+3）]+1}^2=n^4+6n^3+11n^2+6n+1中间两个数相乘再减去1的差的平方平方为：{[(n+1)*（n+3）]-1}^2=n^4+6n^3+11n^2+6n+1结论成立
(2)100*101*102*103+1
=(101-1)*101*102*(102+1)+1
=(101^2-101)(102^2+102)+1
=(101*102)^2-101*102^2+102*101^2-101*102+1
=(101*102)^2-101*102*(102-101)-101*102+1
=(101*102)^2-101*102-101*102+1
=(101*102)^2-2*101*102+1
=(101*102-1)^2

所以原式的算术平方根为101*102-1=10301

Answer 2

（1）观察给出的四个等式可看出：1~5,2~11，3~19,4~29。后者减去前者可得：4,9,16,25。正好是2,3,4,5的平方，后者又分别是2,3,4,5的平方加前者，即n+(n+1)∧2 =n∧2+3n+1 ,n=1,2,3,4.......这个规律性的结论也就是(n∧2+3n+1)∧2.
（2）100*101*102*103+1=（100∧2+3*100+1）∧2=10301∧2