Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 ＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二

已知等差数列{a n }的首项a 1 ＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二、三、四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）令数列{c n }满足：c n ＝ ，求数列{c n }的前101项之和T 101 ； （3）设数列{c n }对任意w*w^w.k&s#5@u.c~o*mn∈N*，均有 ＋ ＋…＋ ＝a n +1 成立，求c 1 ＋c 2 ＋…＋c 2012 的值．

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Answer 1

（1）a n ＝2n－1．   b n ＝3 n - 1             （2）5151＋        （3）c 1 ＋c 2 ＋…＋c 2012 ＝3＋2×3＋2×3 2 ＋…＋2×3 2011 ＝3 2012 ．

(1) 第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二、三、四项,可建立关于d,b 1 ,q的三个方程解方程组即可求解. (2) 解本题关键是T 101 ＝(a 1 ＋a 3 ＋…＋a 101 )＋(b 2 ＋b 4 ＋…＋b 100 ).然后分组求和即可. (3)先根据 ＋ ＋…＋ ＝a n +1 ，求出{ }的通项公式，然后根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和即可. （1）由题意得：(a 1 ＋d)(a 1 ＋13d)＝(a 1 ＋4d) 2          (d＞0)， 解得d＝2，∴a n ＝2n－1．       …………………………………………2分 ∴b 2 ＝a 2 ＝3, b 3 ＝a 5 ＝9,∴b n ＝3 n - 1  …………………………………………4分 （2）∵a 101 ＝201，b 2 ＝3 ∴T 101 ＝(a 1 ＋a 3 ＋…＋a 101 )＋(b 2 ＋b 4 ＋…＋b 100 )＝ ＋ ＝5151＋                      …………………10分 （3）当n≥2时，由 ＝ ＋ ＋…＋ －( ＋ ＋…＋ )＝a n +1 －a n ＝2 得c n ＝2b n ＝2·3 n - 1 ， 当n＝1时，c 1 ＝3．故c n ＝  ……………………………13分 故c 1 ＋c 2 ＋…＋c 2012 ＝3＋2×3＋2×3 2 ＋…＋2×3 2011 ＝3 2012 ．